- Distribusi Bernoulli digunakan untuk percobaan tunggal yang hanya memiliki dua hasil: sukses atau gagal. Contoh: melempar koin (kepala atau ekor), ujian lulus/tidak.
- Distribusi Binomial digunakan untuk menghitung probabilitas jumlah sukses dalam n percobaan independen dengan probabilitas sukses tetap (p). Contoh: jumlah produk cacat dalam 10 produksi, jumlah kepala dalam 5 lemparan koin.
- Distribusi Poisson digunakan untuk menghitung probabilitas jumlah kejadian langka dalam interval waktu atau ruang tertentu. Contoh: jumlah email masuk per jam, jumlah kecelakaan di jalan per bulan.
- Dua hasil: Setiap percobaan hanya memiliki dua hasil, yaitu sukses (X=1) atau gagal (X=0).
- Probabilitas tetap: Probabilitas sukses (p) dan gagal (q = 1-p) tidak berubah selama percobaan.
- Independen: Hasil satu percobaan tidak memengaruhi hasil percobaan lainnya.
- Bernoulli:
- Melempar koin sekali (sukses = muncul kepala, gagal = ekor).
- Ujian singkat dengan jawaban benar/salah.
- Binomial:
- Jumlah siswa lulus ujian dari 20 peserta (n=20, p=probabilitas lulus).
- Menghitung jumlah produk cacat dalam 100 unit produksi (n=100, p=tingkat kerusakan).
- Poisson:
- Jumlah mobil yang melewati tol per menit.
- Jumlah keluhan pelanggan per hari.
Diketahui:
- 5 dari 1.000 mahasiswa terlambat → Probabilitas terlambat $ p = \frac{5}{1000} = 0.005 $.
- Jumlah mahasiswa hari ini $ n = 7.000 $.
- Gunakan pendekatan Poisson: $ \lambda = n \cdot p = 7.000 \cdot 0.005 = 35 $.
Pertanyaan: Probabilitas lebih dari 7 mahasiswa terlambat ($ P(X > 7) $).
Langkah-langkah:
- Distribusi Poisson:
$$ P(X = r) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^r}{r!} $$ - Hitung $ P(X > 7) = 1 - P(X \leq 7) $.
- Karena $ \lambda = 35 $ sangat besar, distribusi Poisson mendekati distribusi normal (dengan mean $ \mu = 35 $ dan varians $ \sigma^2 = 35 $). Namun, karena soal meminta pendekatan Poisson, kita gunakan rumus Poisson.
Perhitungan:
- Untuk $ \lambda = 35 $, probabilitas $ P(X \leq 7) $ sangat kecil (hampir 0) karena rata-rata 35 kejadian.
- Maka:
$$ P(X > 7) \approx 1 - 0 = 1 $$
Kesimpulan:
Probabilitas lebih dari 7 mahasiswa terlambat adalah hampir 100% karena nilai $ \lambda = 35 $ menunjukkan rata-rata 35 mahasiswa terlambat.
Catatan: Pendekatan Poisson untuk $ \lambda $ besar biasanya tidak praktis, dan lebih tepat menggunakan distribusi normal. Namun, sesuai instruksi soal, pendekatan Poisson tetap digunakan.