当たり前だけど、クラスファイルは二つできてしまいますね。1 java ファイル に対して 1 class ファイルが義務付けられる現場の方はご愁傷さまでした。

compile

$ javac VarAnonymousClass.java
$ ls -1
VarAnonymousClass$1.class
VarAnonymousClass.class
VarAnonymousClass.java
$

VarAnonymousClass.java

public class VarAnonymousClass{
    public static void main (String[] args) {
        var obj = new Object(){
            int value() {
                return 1;
            }
        };

        System.out.println(obj.value());
    }
}